很也许是错的,了解不了弯曲时间和空间

日期:2019-05-02编辑作者:优德88手机版

图片 1

本文来自“我是科学家”·|

图片 2
皮克斯动画《勇敢传说》(Brave)海报,女主角的一头红发包含了10万个单独的有限元,可以以100亿种可能的方式碰撞。

(Ent/编译)我们都遇到过这种情况。你抓起一块披萨,正要一口吞掉的时候,披萨一下子软了,从你的指尖处耷拉了下来。披萨饼本身的结构强度不够高,无法支持整片的重量。也许下次应该少加点儿料?不用,无需绝望。

你可能经常看到这样的说法:引力可以让时空弯曲。不过你会发现无论这句话看着多么眼熟,还是理解无力。

编者按:3月6日晚,皮克斯动画工作室的资深科学家托尼•德瑞斯(Tony DeRose)在纽约市的数学博物馆(The Museum of Mathematics)做了一场演讲,分享电影中的数学。我们编译了网络科技媒体“The Verge”的资深主笔兼记者 Tim Carmody 发回的现场笔记,并做了评注。致我们所爱的电影和游戏里的数学。

如果你是个吃披萨多年的老手,那你应该知道怎么对付这样的场景:只需把披萨弯成U形即可。(手头没有披萨?拿一张纸试验一下就好。)

其实这没有什么可自责的。我们可以理解一张纸是弯曲的,是因为我们站在纸外。换句话说,我们站在更高维的空间(3维)观察一个低维空间(2维)的几何性质(弯曲)是很容易的。但去理解时空的弯曲就是非常反直觉的了,因为“不识庐山真面目,只缘身在此山中”,我们身处这个时空,又如何知道时空是弯曲的呢?

 

图片 3一张纸拿在手里就会耷下去,但弯曲握就能让它笔直。为什么呢?图片来源:Aatish Bhatia

为此,我们今天祭出一件上古神器—指南车,它可以帮助你理解“我们怎么知道时空是弯曲的”。

托尼•德瑞斯穿了件花哨的皮克斯T-shirt,缓步在纽约的数学博物馆演讲厅的座席间,乍眼一看,他横竖也不像个科学家。他频频向坐在位子上的未来小技术宅致意,以及向随这些小技术宅同来的各位家长和老师问好。听众中也不乏年长的数学死宅及其基友。还有个二十几岁的哥们,他曾经是《汽车总动员2》的龙套演员(他的动作捕捉被作为制作动画的蓝本),他带来了他娘,因为他老娘想见识下这些幕后的电影工作者是怎么把他儿子的动作搬上荧幕的。

这个披萨小窍门的背后,深藏着一项关于曲面的强力数学。这一数学发现如此绝妙,以至于它的发明人——数学天才卡尔·弗雷德里克·高斯(Carl Friedrich Gauss)——给它起了个拉丁文名叫Theorema Egregium,意思是“绝妙定理”。

传说5000多年前,黄帝与炎帝的联军同蚩尤部落决战于涿鹿之野。蚩尤作法,用浓雾困住黄帝的军队。黄帝发明了指南车,并借此辨认方向冲出浓雾并战胜了蚩尤。据描述,指南车上有一木制小人像,一只手臂抬起指向前方。无论车身如何运动转向,小人的手臂始终指向同一方向。

托尼•德瑞斯开始发话:“看到男女老少都来听这个讲座真好。”随即他问:“你们都看过皮克斯的电影吗?” 可以预料的是,全场的人都举起了手。他接着问,“看过3部的举手,5部呢?全部的呢?”最后演讲厅里面几乎1/4的观众举起了手。托尼•德瑞斯赞叹道:“牛啊。”他一边向全场观众微笑,一边在心里想:“集(Gig)会在此,无比(bit)赞也。”(译注:原文为“This gig is not a bit bad”,相当有水平的双关使用,gig 本是现场表演的意思,直译“这次演出一点也不赖”,但同时gig也是 Gigabyte/Gigabit 平時在英文中的简写,对技术宅来说这句话就是“这一个G一个bit的坏道都没有”。)

拿一张纸,卷成圆柱形纸筒。你可能觉得显而易见,纸本来是平的,卷成筒就弯了,对吧?可是高斯不这么想。他想给纸的弯曲程度(“曲率”)下一个定义,让它不因你人工施加的弯曲而改变。

黄帝的传说过于久远而不可考证,不过指南车确实散见于从周到宋间两千余年的史书中。其中《宋史》里很详细地描述了指南车的结构和原理。现代人根据宋史中的描述,成功地复原出了指南车。

托尼•德瑞斯今天的演讲题目是“电影中的数学”(Math in the Movies)。主题就是他的工作——怎么把代数和几何融入软件之中,从而渲染出各式各样的物体,或者驱动复杂的物理引擎。托尼解释说,这套流程,全世界的电脑动画工作室和电子游戏制作者都在用。他来这里演讲的目的之一,就是告诉大家,动画师和游戏设计师若有大志,那么数学功底一定要过硬。

图片 4图片来源:Aatish Bhatia

图片 5复原出来的指南车。图片来源:Wikipedia

身为皮克斯的资深科学家,托尼•德瑞斯数学功底何止过硬,简直是太硬——美国加州大学伯克利分校的计算机博士,专攻计算物理学,然后又在华盛顿大学当了十多年的计算机工程的教授。托尼•德瑞斯的这场演讲,是数学博物馆在曼哈顿新园区开设的 “数学奇遇记” 系列演讲的第一场。在这之前,他已经做过多次类似的演讲,每次都会带来皮克斯的科学家如何让技术更进一步的故事,以及大家喜闻乐见的电影制作秘闻。

如果你放大去看一只生活在纸筒上的蚂蚁,这只蚂蚁可以走很多条不同的路线。它可以沿着弯曲道路横着走下去,画出一个圆;也可以沿着平坦路线竖着走,走出一条直线。或者它可以把两种方式组合起来,走一条螺旋。

指南车的原理并不复杂。它有两个轮子,当车子转向时,两个轮子的转速会产生差异。这个转速的差别会通过差动齿轮装置驱动小人转向。经过矫正和调试,小人转向的角度恰好可以补偿车子的转向,于是无论车子如何转向,小人都指向同一个方向。

在计算机制作的动画中,头发、衣服、流体和气状物(比如云、烟、火),都有自己专属的物理引擎。而到了具体的电影中,这每一大类的专属模拟引擎又会根据情况得到进一步增强,表现出更加炫目的效果。托尼•德瑞斯说:“模拟水很简单;难点在于,用什么方法模拟出来的水,怎样才像真的水,能被引导往某个方向流动。”(译注:在欧拉坐标系下水流模拟需要的计算机资源太多,而使用拉格朗日坐标系进行的追踪每个格点的模拟需要资源较少,但实际上是在模拟黏性不大不可压缩的固体。) 

高斯的天才在于,他想到把所有这些路线都纳入曲率定义里面。办法是这样的:从任何一点出发,找到这只蚂蚁能选择的最极端的两条路线——也就是最凹的和最凸的两条线。然后把它们的曲率乘起来。凸的路线曲率是正的,凹的路线曲率是负的,直的路线曲率是0。你得到的数字,就是那个点上的高斯曲率。

如果指南车不是行进在平地(平面)上,而是行进在崎岖的山地(曲面)上还能否奏效呢?

皮克斯新作《勇敢传说》片段。

图片 6图片来源:Aatish Bhatia

我们考虑一种最简单的情形。

托尼•德瑞斯举了《勇敢传说》(Brave)里面的例子:梅莉达一头蓬松卷曲的红发,便是用了全新的物理引擎模拟出来的。(译注:传统的头发模拟是使用类似浆糊的体积模拟,而不是一丝一丝的进行碰撞模拟,浆糊里面每一个点的波动会传播到周围的点,并且有一定的传播速度和衰减程度,最后这一大块浆糊被赋予头发的丝状材质。而梅莉达的蓬松卷发则更类似于多体的弹性和非弹性碰撞,故而传统的头发模拟引擎派不上用场。)托尼•德瑞斯和皮克斯动画师团队绞尽脑汁,终于制作出来梅莉达那一头得比真的还真、极具表现力的秀发模型——当然,这头秀发的模拟计算量还要我们的超级计算机能承受。

举几个例子吧。对于纸筒上的蚂蚁来说,最极端的两条路,一条是横着画圆,另一条就是竖着画直线。但是因为直线具有0曲率,所以乘起来总是得到0。照数学家的说法,纸筒是平的——它的高斯曲率就是0。这正是因为你能用平整的纸张卷出一个纸筒。

指南车一个轮子固定,转动另一个轮子使车原地转一圈。在平地上的时候,那个转动的轮子走过的长度是两倍的轴距乘以圆周率,通过差速器,小人向反方向旋转360°,正好补偿了车子的转动,因此小人抬起的手臂指向原来的方向。而如果车停在一个小山包上,那么转动轮子所画出的圆周的周长就会比这个数字小。

托尼•德瑞斯继续解释:“真实世界里面,头发无时无刻都在彼此发生着碰撞。梅莉达的头发有10万个单独的有限元,而n个物体在下一时刻有 n种碰撞可能,10万个元就会有100亿种可能,如何制作一个能快速模拟出100亿种碰撞可能的引擎?这里,我们使用了特别的数据结构,使得这些碰撞可能性被去粗取精,没用的碰撞可能性就被剔掉了。打个比方来说,如果对比‘傻而快’的MP3或者JPEG压缩算法,我们创造的则是头发模拟界的FLAC或者PNG的压缩算法。”(译者:主流MP3的压缩算法通过删除掉高频率的声波减少数据量。JPEG压缩算法和MP3类似,首先进行空间到频率域上的变换,再削掉高频部分,高对比度的边缘被平滑后产生的色块便是压缩的痕迹。FLAC的压缩则是在频率分离之后进行线性预测,简单说来,就是声音有多少频率,就把多少频率吸纳进来,再进行Colomb码的进一步数字层面的压缩;这种过程是可逆的,所以产生的压缩是无损的。)

相反,如果蚂蚁活在一个球上,那么它就无法找到平坦的路线,每一条道路都会有一定程度的向外凸出,所以高斯曲率一定是个正的数。所以,球是弯的,而筒是平的。你可以把一张纸卷成一个筒,却永远不能卷成一个球。

图片 7

图片 8
再来一张梅莉达的近照,重点看那圆脸——哦,不——看那比真实更真的头发。来源:Pixar

图片 9图片来源:Aatish Bhatia

所以,差速器传递给小人的转向角就会小于360°,因此小人的手臂就会偏离原来的方向:小车向左转,小人的手臂就向左偏,反之亦然。同样的,当小车停在一个小山坳里时,也是类似的情况。

图片 10
卷发丝模拟中用弹簧弯曲对比不用弹簧弯曲,在受力之后3帧的区别。来源:Pixar

高斯的绝妙定理就是:生活在曲面上的蚂蚁,根本不需要离开它就能知道曲面的曲率。只要测量一下距离,计算一下就行。顺便说,这也是为什么我们没有离开宇宙却能测量出我们的宇宙是不是平的(根据目前的观测来看,它是)。

另外有一种比较奇葩的地形,叫做双曲面(也可以叫马鞍面或者薯片形)。

托尼•德瑞斯又提到,CG动画制作经常需要模拟超大规模、尺度精细的物理模型,较之物理学家平时所需的科学计算是有过之而无不及。托尼•德瑞斯的工作,就是为这些物理模拟寻找更优的算法,保证模拟之尺度的同时又不失微小细节。德瑞斯风趣的说:“导演总是说‘这些都是小问题啦’,这里我负责地告诉大家——导演都撒谎了。” 如果哪天皮克斯的导演突然有了新点子,导致片中角色或者其相关的物体的物理性质发生了根本改变,电影的物理模拟需要重新来过,那皮克斯全部4个团队一起干,都别想一年制作出一部片来。

但这个定理还有一个绝妙的结果:你可以随意弯曲一个曲面,只要你不拉长、压缩或者撕裂它,高斯曲率一定不会变。因为单纯弯曲不改变其上的距离,所以不管怎么弯,上面的蚂蚁总会计算出同样的高斯曲率。

图片 11

曲面细分法

托尼•德瑞斯对CG动画制作界最为重要的贡献,就是引入了高还原度的曲线/曲面的生成算法:如何将复杂的形状分解成电脑可以生成的多边形。多年以来,电脑动画和电子游戏制作都在致力于用多边形来表示一个真实世界的三维物体。但是,使用多边形的问题就在于,仔细一看,还是看得出来多边形的棱角的。CG业界的趋势是用“平滑”曲面代替多边形,这些“平滑”曲面会经过原来多边形顶点所在的位置。数学家针对此方,发明了各种快速生成“经过固定点的‘平滑’曲面”的方法。

例如曲面细分,将原本一个多边形按照曲面的曲率拆解成多个多边形,并且不断重复该过程直到达到允许的自由度上限。从曲线的角度来看,连接曲线经过的始点和终点的线段是对曲线的“模拟”,如果细分的话,加入曲线上的中点,分别连接始点和终点成为两条线段,这是对该曲线更好的“模拟”,而这个过程可以不断进行下去。(译注:原文说“平滑”曲面可以做到任意放大仍然光滑,实际上计算机是做不到这点的,只能达到人眼解析度没法分辨的程度。)

曲面细分第一次在皮克斯制作动画时被大量使用,可追溯到1997年的奥斯卡最佳短片《棋逢敌手》(Geri's Game)。这部电影相对于以往基于粗网格多边形的动画,那简直就是惊天地泣鬼神的飞跃,一举奠定“皮式风格”。

1997年奥斯卡最佳短片奖《棋逢敌手》(Geri's Game)。皮克斯在制作该片时首次大量应用了曲面细分算法,精致的细节模拟开创了“皮克斯风格”。

图片 12
《棋逢敌手》的主人公 Geri 头部的三维曲面细分。来源:Pixar

托尼•德瑞斯当时将他在学术界的研究成果和多维曲面上的小波计算,应用到皮克斯的曲面生成算法中(译者注:小波变换的一大优势,在于可进行多尺度多分辨率的计算分析)。《棋逢敌手》中 Geri 鼻子的复杂几何曲面,还有随风飘动的衣褶;几年后《超人总动员》(The Incredibles)里,每一个建筑、每一扇窗户,所有物体的所有细节都是曲面细分的产物。现在几乎每个皮克斯动画制作项目都会用到曲面细分。从计算几何的学术界到个别的动画短片尝试,而今曲面细分算法已然成为CG动画的行业标准。

托尼•德瑞斯和他的研究团队制作电影同时,仍然不忘在学术界灌水论文,并且关注学术界最新进展,方能将最新的成果用到皮克斯的动画渲染引擎中来,不过,现在皮克斯的研发部门和渲染软件已经不像几年前那样领先业界数个身位了。以前,一个角色模型的光照和着色,还有定义各种动作的参数首先是数学上的难题,接着是写代码上的难题;但现在,像 Blender 一样的开源软件,也能比肩皮克斯自主研发的软件。2012年夏天,皮克斯发扬互联网的分享精神,将他们的曲面细分代码库开源,放到了网站 GitHub 上。对于这一举动,托尼•德瑞斯解释说:“我们曾经领先业界十年,不过现在更得益于让大家来一起参与开发。”

皮克斯最大的竞争优势,在于其超卓之驾驭新科技的能力,这些新科技又是基于最新的数学研究,不但能更好得模拟出物理,渲染出更漂亮的图形,也为更好得讲故事服务。托尼•德瑞斯和皮克斯并没有满足于现在的成就,托尼•德瑞斯告诉讲堂里未来的技术宅小朋友:“世界的某个角落,肯定有天才技术宅儿童和宅友正在摆弄着类似Blender一样的工具,而他们,将是下一个皮克斯。”

 

相关的果壳网小组

  • ACG 小组
  • 像素之城
  • 数学午餐会
  • ​一起动画吧

 

本文编译自:*The Verge*,Pixar's Senior Scientist explains how math makes the movies and games we love
​文章图片:
theverge.com

听起来可能有点儿抽象,但是这推论有十分紧贴现实的结果。把一个橘子切成两半,吃掉里面的东西,然后把剩下半个橘子皮放在地上,踩吧。皮永远不可能被踩扁成一个完整的圆。相反,它一定会裂开。这是因为球面和平面拥有不同的高斯曲率,所以不扭曲、不撕裂,是不可能把球面压平的。有没有试过给人寄篮球当礼物?包装纸会遇到完全一样的问题。不管你怎么弯曲一张纸,它总会留下一点点“平”的痕迹,所以最后只能得到皱皱巴巴一团糟。

在这种地方圆周会变大。因此指南车行走在这样的地形上,小人手臂的转动会超过需要补偿的角度:小车向右转,小人的手臂却向左偏,反之亦然。

图片 13桔子皮不可能压成完整圆——因为球面和平面高斯曲率不同(而且桔子皮也没有什么延展性)。图片来源:Aatish Bhatia

在几何学中,这两种不同的情形可以用高斯曲率这个概念区分。

这个定理的另一个推论是,平面纸上永远不可能画出准确的地图。很多常见世界地图投影方式能精确地保留角度,但是在面积上就有严重误差。数学博物馆的推特指出,服装设计师也面临类似挑战——他们在平面上设计花样,却要符合弯曲的人体。

原来,不论是山包还是山坳,它们的高斯曲率都是大于零的,而双曲面的高斯曲率却是小于零的。

图片 14每个红色圆圈的实际面积是相等的,但在地图上看起来就有很大的差异。图片来源:Stefan Kühn (左), Eric Gaba (右) / Wikimedia

我们可以进一步证明[1],指南车出去兜一圈回到原点,小人手臂是否偏离原来的方向,这取决于指南车巡游路线所包围的曲面中所有点上的高斯曲率的总和。

那这一切和披萨饼有什么关系呀?是这样的:你拿起披萨之前,它是平的(数学上说,它的高斯曲率为0)。高斯绝妙定理指出,这片披萨必须有至少一个方向永远保持平整——不管你怎么弯,它一定会留下一点“平”的痕迹。当这片披萨塌下去的时候,平的方向(红色箭头)是朝侧面的,这对吃掉它可没有什么帮助。但是如果你抢在它塌下去之前,先把披萨侧着捏弯,就迫使另一个方向只能保持平整——也就是对着你嘴巴的方向。还真是绝妙的定理呀。

这里面提到的高斯曲率是一个曲面的内禀性质,也就是不会随外界环境变化而改变的性质。什么意思呢?比如一张纸,它展平的时候高斯曲率处处都等于零,那么无论你如何弯曲这张纸,只要不撕裂,它的高斯曲率始终是处处为零。同样,球面的高斯曲率是大于零的,因此球面无论如何也无法被拍扁成一个平面。

图片 15没想到几何学也能这么美味吧。图片来源:Aatish Bhatia

所以说,有了指南车这个神器,人们可以不必跳出大地便能测量大地的几何性质。顺便说一下,几何(Geometry)这个词是希腊语词根Geo-意思是大地,metry意思是就是测量。

在一个方向上弯曲,来迫使它在另一个方向上保持平直。一旦你理解了这个点子,你就会到处都看到它。仔细看看一片草叶。它通常都是沿着中央叶脉弯曲的,这能帮助它维持笔直,不会软塌下去。工程师经常用弯曲来强化结构承载力。在马德里扎祖拉体育场,西班牙结构工程师埃杜拉多·托罗亚(Eduardo Torroja)设计了一套创新的混凝土屋顶,从边缘一直伸到看台上方,遮蔽了大片区域,而厚度只有几厘米。这其实就是披萨技巧。

空间有三个维度(上-下,左-右,前-后),时间有一个维度(过去-未来),合起来是一个3 1维的时空。我们居住在其中,无论如何也跳不到一个更高维的空间去测量时空的形状。因此,我们大多数人都很难理解,什么叫“弯曲的时空”。即便如此,我们可以利用类似指南车的原理,不必跳出这个时空也能知道时空有没有“弯曲“。

图片 16弯曲的草叶。图片来源:Dudley Carr / Flickr

陀螺仪就是时空里的“指南车”。在平直的时空里,不受力矩的陀螺仪的转轴总能保持指向一个方向。可是如果一个陀螺仪出去兜了一圈回来发现它的转轴居然偏离了原来的方向,这时候你就知道陀螺仪所处的时空有内禀的曲率,也就是说时空是弯曲的。

图片 17西班牙扎祖拉体育场。图片来源:Ximo Michavila

图片 18陀螺仪。图片来源:shutterstock

弯曲带来力量。想想看:你能站在一个空易拉罐上,它能轻松承载你的体重;可是易拉罐外壁的厚度差不多和纸一样薄。它的秘密就是它的弯曲。如果有人趁你站在上面的时候拿笔戳一下易拉罐,就能戏剧化地展现这一点——只需一个小凹坑,它就会在你脚下轰然崩塌。

按照广义相对论,有质量的物体就会使它周围的时空弯曲。因此,一个陀螺仪放在卫星上,绕着地球转几圈之后久能看到陀螺仪的转轴发生明显的转向。这就是所谓的“测地线进动(Geodetic Precession)”,这种效应已经被NASA 2004年发射的卫星Gravity Probe B 所证实[2]

图片 19纸板箱里隐藏的秘密。图片来源:Craig Sunter / Flickr

图片 202004年发射的卫星Gravity Probe B。图片来源:wikipedia

但最日常的例子可能是无处不在的波形建材。世界上简直没有比纸板箱更无聊的东西,但是撕开一个这样的箱子,你会看到箱壁里一条熟悉的波浪曲线。这些皱褶在里面可不是为了好看,它们是一种天才的结构方式:让材料又薄又轻,又能坚硬到足以承担可观的重压。

也许在“高维生物”的眼中,我们是匍匐在“地面上的渺小蚂蚁”,永远也无法离开“地面”看一眼“大地”。但我们虽然渺小,却不卑微。因为我们拥有智慧,能造出“指南车”,它让我们不必跳出“地面”便可以知道“大地”形状。(编辑:婉珺)

图片 21很多人小时候玩过的把戏:把一张纸折叠几次就能承载很大的重量,但它背后的数学可能你就想不到了。图片来源:Aatish Bhatia

参考文献:

  1. 已经有研究证明,指南车小人手臂相对于车身的转动角度等于小车路径上的测地曲率的积分,而测地曲率的积分又可以用Gauss-Bonnet定律和高斯曲率的面积分联系起来。参考:邓崇林 萧先雄 指南车在物理学中几何相位的应用- 《物理与工程》2014年 第S2期

波形金属板使用的也是同样的原理。这些不起眼的建材是纯实用性的体现,它们的形态和其功能完美契合;它们的高强度和相对低廉造价使其成为了整个现代世界的背景。

今天,我们就算看到这些波浪形金属板也几乎不会多想什么。但当它们诞生时,许多人把波形建材看成是奇迹材料。1829年,亨利·帕尔默(Henry Palmer)获得了波形建材的专利,他是一个英国工程师,负责建造伦敦码头。帕尔默建起了世界上第一个波形钢结构建筑——伦敦码头的松油棚屋。虽然它今天看来可能没什么了不起,但是听听当时的一家建筑学杂志是怎么描述它的吧:

不久前路过伦敦码头时,我们十分满意地发现,帕尔默先生新发明的屋顶已经得到了实际应用。……任何一个目光敏锐的人,路过的时候都不可能不被它的优雅和简洁所打动(虽然它只是个棚屋);而只要稍加思索,他们就会相信这一建筑的效率之高、经济之节约。我们认为,这是自亚当诞生以来,人类之手所建造的最轻又最结实(以其重量而言)的屋顶。若我们仔细观察(我们为了这一目的而爬过了各式各样的粘稠松油罐),会发现这一屋顶的总厚度绝对没有超过十分之一英寸!

这年头的建筑学杂志真是大不如前了啊。

虽然波形建材和易拉罐的强度可以很高,但有个办法让这些材料变得更强。想自己找到这个办法?去冰箱拿个鸡蛋出来。放在掌心,整只手握住鸡蛋,挤吧。(尝试这个的时候记得别戴戒指。)你会为它的强度而惊讶的。我就没法把鸡蛋握坏,哪怕用尽全力也没戏。(真的,谁试谁知道。)

图片 22请务必在家中尝试一下——好吧,为了安全,别在电脑前尝试。图片来源:Aatish Bhatia

鸡蛋为什么这么强?易拉罐和波形金属板在一个方向上是弯的,另一个还是平的。这一弯曲让它们拥有了一定强度,但它们还是有可能被压成本来的平板。

相反,鸡蛋壳两个方向上都是弯的。这是它的关键。用数学语言表达,那就是这些双重弯曲的曲面拥有非零的高斯曲率。像我们先前遇到的橘子皮一样,这意味着它们不可能被压平,除非有撕裂或者拉伸——有高斯绝妙定理保证这一点。要打破一个鸡蛋,你必须首先弄出一个坑。等到鸡蛋失去了弯曲,也就失去了强度。

图片 23图片来源:Owen Cliffe / Wikimedia

核电站冷却塔的象征性形状也在两个方向上利用了弯曲。这个形状叫做双曲面,能让所需的材料最少。正常的烟囱很像巨大易拉罐——结实是结实,但是很容易弯。双曲面形状的烟囱靠双向弯曲来解决这个问题,这样的弯曲方式能把形状“锁死”在空间中,提供额外的强度。

另一种得益于弯曲的形状是品客“薯片”,照数学家的说法,这是个双曲抛物面(hyperbolic paraboloid,舌头打结了没?)。

图片 24图片来源:Aatish Bhatia

自然界运用这一形状的招数堪称脑洞大开。濑尿虾有一项臭名昭著的本领——动物界里最快的拳击手,它的一拳打出去的力道足以把着力点上的水蒸发掉,创造出冲击波和闪光。要想使出这死亡一击,濑尿虾使用了双曲抛物面形状的“弹簧”。平时它把弹簧压缩起来储存巨大的能量,然后一招之内释放出来。

西班牙-墨西哥建筑师菲利克斯·坎德拉(Félix Candela)很懂薯片形状的力量。坎德拉是托罗亚的学生,他的建筑将双曲抛物面带到了新的高度(字面意思)。当你听到“混凝土”这个词的时候,恐怕只会想到无聊透顶的方块建筑,但坎德拉却利用双曲抛物面盖起了巨大的建筑,使用的混凝土薄到不可思议。身为这一材料的真正大师,他既是极富创新的建筑者,也是结构艺术家。

图片 25图片来源:Ciudad de las Artes y las Ciencias / Flickr

所以为什么薯片形状强度如此之高?这和它平衡张力与压力的方式有关。一切建筑都要支撑重量,最终将这些重量传递到地面上。这一传递可以靠两种不同方式完成:其一是压缩,拱顶就是纯靠压力而实现的例子;另一个就是拉伸,把一根锁链拎起来,它的每一环就都处于拉伸状态、受到张力。双曲抛物面结合了两种方式的优点。凹下去的U型部分处于拉伸状态,而凸起来的拱顶部分则是压缩,高斯绝妙定理则保证了任何一个地方的受力都会传递到四周——因为这是一个高斯曲率非零的曲面。只要你试图改变它的形状,就必须得连带压缩或者拉伸一整片区域才能让结果遵从高斯的律令;像纸张那样只弯曲一条线而不影响其他部分是不可能的。通过这样的双重弯曲,这一形状实现了张力和压力之间的精妙平衡,让它以很小的厚度就能实现惊人的强度。

通过弯曲来产生强度,这个想法塑造了我们所见的当代世界,而它的根源却来自万古不变的几何学。所以下一次你抓起一块披萨的时候,记得朝周围看看,欣赏一下这个简单的披萨小把戏背后的庞大遗产吧。(编辑:Calo)

参考资料

  1. Reid, Esmond. Understanding buildings: a multidisciplinary approach. MIT Press, 1984.
  2. Mornement, Adam, and Simon Holloway. Corrugated iron: building on the frontier. WW Norton & Company, 2007.
  3. Garlock, Maria E. Moreyra, David P. Billington, and Noah Burger. Félix Candela: engineer, builder, structural artist. Princeton University Art Museum, 2008.

 

 

 

本文由优德88官方网站手机版发布于优德88手机版,转载请注明出处:很也许是错的,了解不了弯曲时间和空间

关键词:

长寿的法门在血液中,年轻血液再造小鼠

原标题:长寿的秘诀在血液中? 近日,哈佛大学干细胞研究所在《科学》杂志发表的两篇论文指出,给相当于人类...

详细>>

国星宇宙航行,作者国民营商业航天第2回在江山

原标题:民营卫星公司「国星宇航」发布完结Smart轮投资,自己作主研究开发AI星载操作系统 民营商业航天集团国星宇...

详细>>

后用胶带,先拿胶带贴起来

原题目:“先用手指,后用胶带”,空间站破了都以那样补的呢? 国际空间站,人类在满小刑构筑过的最大航天器,...

详细>>

优德88手机版高姿色高配置,识别速度或将是最快

原标题:屏下指纹机型顶级旗舰即将发布,识别速度或将是最快 问题: 为什么华为手机大部分还是后置指纹识别呢?...

详细>>